حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{3}}{3 - x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 3 - x^{2}$ .

$\frac{(3 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{(3 - x^{2}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $3 - x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [3 - x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} - x^{3} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 1 x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.7.2

اضرب $x^{3}$ في $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{3} (2 x)}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x \cdot x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1} x^{3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{1 + 3} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + x^{4} \cdot 2}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{4}$ .

$\frac{3 (3 - x^{2}) x^{2} + 2 \cdot x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(3 \cdot 3 + 3 (- x^{2})) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 \cdot 3 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اضرب $3$ في $3$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2}) x^{2} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- (x^{2} x^{2})) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{2 + 2}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{9 x^{2} + 3 (- x^{4}) + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{9 x^{2} - 3 x^{4} + 2 x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أضف $- 3 x^{4}$ و $2 x^{4}$ .

$\frac{9 x^{2} - x^{4}}{{(3 - x^{2})}^{2}}$

خطوة 5.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x^{4} + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{4} + 9 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- x^{4}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + 9 x^{2}}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $9 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (- x^{2}) + x^{2} \cdot 9$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- x^{2} + 3^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3^{2} - x^{2})}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$

خطوة 5.5.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x$ .

$\frac{x^{2} (3 + x) (3 - x)}{{(- x^{2} + 3)}^{2}}$