حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{6}}{1 + \ln (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{6}$ و $g (x) = 1 + \ln (x)$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{6}] - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 6$ .

$\frac{(1 + \ln (x)) (6 x^{5}) - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 2.2

انقُل $6$ إلى يسار $1 + \ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [1 + \ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)])}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 2.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{6} \frac{1}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{x}$ و $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{6}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{6}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{6}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - \frac{x^{5}}{1}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 4.2.2.5

اقسِم $x^{5}$ على $1$ .

$\frac{6 (1 + \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(6 \cdot 1 + 6 \ln (x)) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{6 \cdot 1 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

اضرب $6$ في $1$ .

$\frac{6 x^{5} + 6 \ln (x) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

بسّط $6 \ln (x)$ بنقل $6$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{6 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5} - x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.3.2

اطرح $x^{5}$ من $6 x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.3.3

أعِد ترتيب العوامل في $5 x^{5} + \ln (x^{6}) x^{5}$ .

$\frac{5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $x^{5}$ من $5 x^{5} + x^{5} \ln (x^{6})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $x^{5}$ من $5 x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} \ln (x^{6})}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{5} \ln (x^{6})$ .

$\frac{x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $x^{5}$ من $x^{5} \cdot 5 + x^{5} (\ln (x^{6}))$ .

$\frac{x^{5} (5 + \ln (x^{6}))}{{(1 + \ln (x))}^{2}}$