حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x e^{x}}{\ln (x^{2} - 1)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x e^{x}$ و $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x e^{x}] - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 4.2

اضرب $e^{x}$ في $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 5.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} - 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - x e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $\frac{1}{x^{2} - 1}$ و $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{x}{x^{2} - 1} e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.2

اجمع $e^{x}$ و $\frac{x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x + 0)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.6

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.6.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} (2 x)}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - 2 \frac{e^{x} x}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.6.3

اجمع $- 2$ و $\frac{e^{x} x}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1} x}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 6.6.4

اجمع $\frac{- 2 (e^{x} x)}{x^{2} - 1}$ و $x$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x) x}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 7

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} (x^{1} x^{1}))}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{1 + 1})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 10

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) + \frac{- 2 (e^{x} x^{2})}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 11

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 12

لكتابة $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} - \frac{2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 14

أعِد كتابة $\frac{\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 15

اضرب $\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{x^{2} - 1}$ في $\frac{1}{\ln^{2} (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x} + e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.2

وسّع $(\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x}) (x^{2} - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) (x^{2} - 1) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) x^{2} + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.3.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1.1.3.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2} x^{1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{2 + 1} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) \cdot - 1 + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.3

أعِد كتابة $- 1 (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ بالصيغة $- (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x}))$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - (\ln (x^{2} - 1) (x e^{x})) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1 - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.4

انقُل $- 1$ إلى يسار $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x}) - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.1.3.5

أعِد كتابة $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ بالصيغة $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ .

$\frac{\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $\ln (x^{2} - 1) (x^{3} e^{x}) - \ln (x^{2} - 1) (x e^{x}) + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x} - 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{3} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - x e^{x} \ln (x^{2} - 1) + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 x^{2} e^{x}}{(x^{2} - 1) \ln^{2} (x^{2} - 1)}$

خطوة 16.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} x^{3} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} x \ln (x^{2} - 1) + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1) - 2 e^{x} x^{2}}{\ln^{2} (x^{2} - 1) (x^{2} - 1)}$