حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{1 - e^{x}}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{1 - e^{x}}$ بالصيغة ${(1 - e^{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{x})}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 1 - e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - e^{x}$ .

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- {(1 - e^{x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])$

خطوة 3.5

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 {(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.5.2

اضرب ${(1 - e^{x})}^{- 2}$ في $1$ .

${(1 - e^{x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

${(1 - e^{x})}^{- 2} e^{x}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(1 - e^{x})}^{2}} e^{x}$

خطوة 5.2

اجمع $\frac{1}{{(1 - e^{x})}^{2}}$ و $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{{(1 - e^{x})}^{2}}$