حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 x^{2} - x}{{(2 x - 1)}^{5}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 3 x^{2} - x$ و $g (x) = {(2 x - 1)}^{5}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{({(2 x - 1)}^{5})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(2 x - 1)}^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{5 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - x] - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - \frac{d}{d x} [x]) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1 \cdot 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 2.8

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [{(2 x - 1)}^{5}]}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = 2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - (3 x^{2} - x) (5 {(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{4}$ من ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{4}$ من ${(2 x - 1)}^{5} (6 x - 1)$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) - 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{4}$ من $- 5 (3 x^{2} - x) ({(2 x - 1)}^{4} \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{4}$ من ${(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1)) + {(2 x - 1)}^{4} (- 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{10}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل ${(2 x - 1)}^{4}$ من ${(2 x - 1)}^{10}$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(2 x - 1)}^{4} ((2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))}{{(2 x - 1)}^{4} {(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x - 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 9

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 11

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 5 (3 x^{2} - x) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 11.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2} - x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x - 1) (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

وسّع $(2 x - 1) (6 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (6 x - 1) - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x - 1) - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (6 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \cdot 6 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 \cdot 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $6$ .

$\frac{12 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.1.4

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.1.5

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x - 1 \cdot - 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{12 x^{2} - 2 x - 6 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.2.2

اطرح $6 x$ من $- 2 x$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 10 (3 x^{2}) - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.3

اضرب $3$ في $- 10$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} - 10 (- x)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 10$ .

$\frac{12 x^{2} - 8 x + 1 - 30 x^{2} + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.2

اطرح $30 x^{2}$ من $12 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{2} - 8 x + 1 + 10 x}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.2.3

أضف $- 8 x$ و $10 x$ .

$\frac{- 18 x^{2} + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 18 x^{2}$ .

$\frac{- (18 x^{2}) + 2 x + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.4

أخرِج العامل $- 1$ من $2 x$ .

$\frac{- (18 x^{2}) - (- 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (18 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) + 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.6

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (18 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.8

أعِد كتابة $- (18 x^{2} - 2 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (18 x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{6}}$

خطوة 12.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{18 x^{2} - 2 x - 1}{{(2 x - 1)}^{6}}$