حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3 e^{x}}{5 e^{x} - 8}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{5 e^{x} - 8}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 e^{x} - 8$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [5 e^{x} - 8]}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 e^{x} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8])}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x} + 0)}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $5 e^{x}$ و $0$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - e^{x} (5 e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x} e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 7

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل $e^{x}$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 (e^{x} e^{x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{x + x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 7.3

أضف $x$ و $x$ .

$3 \frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 8

اجمع $3$ و $\frac{(5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$ .

$\frac{3 ((5 e^{x} - 8) e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x} - 8 e^{x} - 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (5 e^{x} e^{x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1

اضرب $e^{x}$ في $e^{x}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1.1.1

انقُل $e^{x}$ .

$\frac{3 (5 (e^{x} e^{x})) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{3 (5 e^{x + x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.1.1.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{3 (5 e^{2 x}) + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.1.2

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} + 3 (- 8 e^{x}) + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.1.3

اضرب $- 8$ في $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} + 3 (- 5 e^{2 x})}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.1.4

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $15 e^{2 x} - 24 e^{x} - 15 e^{2 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

اطرح $15 e^{2 x}$ من $15 e^{2 x}$ .

$\frac{0 - 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.3.2.2

اطرح $24 e^{x}$ من $0$ .

$\frac{- 24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$

خطوة 9.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{24 e^{x}}{{(5 e^{x} - 8)}^{2}}$