حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x^{2} - 8}{x^{2} - 16}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 x^{2} - 8$ و $g (x) = x^{2} - 16$ .

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8] - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.5

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x + 0) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

أضف $4 x$ و $0$ .

$\frac{(x^{2} - 16) (4 x) - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.6.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2} - 16$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - (2 x^{2} - 8) (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{4 (x^{2} - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 x^{2} + 4 \cdot - 16) x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2} - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x + (- 2 (2 x^{2}) - 2 \cdot - 8) x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x^{2} x + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.1.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 x^{3} + 4 \cdot - 16 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $4$ في $- 16$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{2}) x - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.3.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x \cdot x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 (x^{1} x^{2})) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{1 + 2}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 2 (2 x^{3}) - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.4

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} - 2 \cdot - 8 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.1.5

اضرب $- 2$ في $- 8$ .

$\frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3} + 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $4 x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{- 64 x + 0 + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.2.2

أضف $- 64 x$ و $0$ .

$\frac{- 64 x + 16 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أضف $- 64 x$ و $16 x$ .

$\frac{- 48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

خطوة 3.7

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$- \frac{48 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

خطوة 3.7.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$- \frac{48 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

خطوة 3.7.3

طبّق قاعدة الضرب على $(x + 4) (x - 4)$ .

$- \frac{48 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$