حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{(x + 4) (x + 1)}{4 x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = (x + 4) (x + 1)$ و $g (x) = 4 x - 1$ .

$\frac{(4 x - 1) \frac{d}{d x} [(x + 4) (x + 1)] - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x + 4$ و $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(4 x - 1) ((x + 4) \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اضرب $x + 4$ في $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 4]) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [4])) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) (1 + 0)) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + (x + 1) \cdot 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (x + 4 + x + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.3

أضف $x$ و $x$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 4 + 1) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.8.4

أضف $4$ و $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 1]}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.12

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.13

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) (4 + 0)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.14

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.14.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - (x + 4) (x + 1) \cdot 4}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 3.14.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) - 4 (x + 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(4 x - 1) (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

وسّع $(4 x - 1) (2 x + 5)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (2 x + 5) - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x + 5) + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 x (2 x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{4 \cdot 2 x \cdot x + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 (x \cdot x) + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{4 \cdot 2 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.3

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{8 x^{2} + 4 x \cdot 5 - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.4

اضرب $5$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 1 (2 x) - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 1 \cdot 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.1.6

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{8 x^{2} + 20 x - 2 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.2

اطرح $2 x$ من $20 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 4 \cdot 4) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 + (- 4 x - 16) (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4

وسّع $(- 4 x - 16) (x + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x (x + 1) - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 (x + 1)}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x \cdot x - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 (x \cdot x) - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x \cdot 1 - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.1.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16 \cdot 1}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.1.3

اضرب $- 16$ في $1$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 4 x - 16 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.2

اطرح $16 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{8 x^{2} + 18 x - 5 - 4 x^{2} - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اطرح $4 x^{2}$ من $8 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} + 18 x - 5 - 20 x - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

اطرح $20 x$ من $18 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 5 - 16}{{(4 x - 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

اطرح $16$ من $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 2 x - 21}{{(4 x - 1)}^{2}}$