حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{2 x^{3}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{{(x^{3} - 7)}^{4}}{x^{3}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(x^{3} - 7)}^{4}$ و $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

خطوة 3.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3} - 7)}^{4}] - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x^{3} - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} - 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 7]) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7])) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 5.3

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2} + 0)) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (4 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{2})) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 5.4.2

اضرب $3$ في $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3} x^{2}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 6

اضرب $x^{3}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2} x^{3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 6.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{2 + 3} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 6.3

أضف $2$ و $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - {(x^{3} - 7)}^{4} (3 x^{2})}{x^{6}}$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$

خطوة 8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{x^{6}}$ .

$\frac{x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أخرِج العامل $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ من $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3}) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1.1

أخرِج العامل $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ من $x^{5} (12 {(x^{3} - 7)}^{3})$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) - 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}}{2 x^{6}}$

خطوة 9.1.1.2

أخرِج العامل $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ من $- 3 {(x^{3} - 7)}^{4} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

خطوة 9.1.1.3

أخرِج العامل $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3}$ من $x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4)) + x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (- (x^{3} - 7))$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (x^{3} \cdot (4) - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

خطوة 9.1.2

انقُل $4$ إلى يسار $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 \cdot x^{3} - (x^{3} - 7))}{2 x^{6}}$

خطوة 9.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} - - 7)}{2 x^{6}}$

خطوة 9.1.4

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (4 x^{3} - x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

خطوة 9.1.5

اطرح $x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

خطوة 9.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

انقُل $3$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{6}}$

خطوة 9.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{2}$ و $x^{6}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2} {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{2 x^{6}}$

خطوة 9.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.2.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

خطوة 9.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{2} (3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7))}{x^{2} (2 x^{4})}$

خطوة 9.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 {(x^{3} - 7)}^{3} (3 x^{3} + 7)}{2 x^{4}}$