حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 3}{{(x - 3)}^{5}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x + 3$ و $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{({(x - 3)}^{5})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(x - 3)}^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{5 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 2.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 2.5.2

اضرب ${(x - 3)}^{5}$ في $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{5}]}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 3$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - (x + 3) (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{4}$ من ${(x - 3)}^{5} - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{4}$ من ${(x - 3)}^{5}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) - 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{4}$ من $- 5 (x + 3) ({(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x - 3])$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{4}$ من ${(x - 3)}^{4} (x - 3) + {(x - 3)}^{4} (- 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{10}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل ${(x - 3)}^{4}$ من ${(x - 3)}^{10}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(x - 3)}^{4} (x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3]))}{{(x - 3)}^{4} {(x - 3)}^{6}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x - 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 8

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3) \cdot 1}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 9.2

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{x - 3 - 5 (x + 3)}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x - 3 - 5 x - 5 \cdot 3}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 5$ في $3$ .

$\frac{x - 3 - 5 x - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.2.2

اطرح $5 x$ من $x$ .

$\frac{- 4 x - 3 - 15}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.2.3

اطرح $15$ من $- 3$ .

$\frac{- 4 x - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.3

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 4 x$ .

$\frac{2 (- 2 x) - 18}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$\frac{2 (- 2 x) + 2 (- 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 2 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 2 x - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 9)}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.5

أعِد كتابة $- 9$ بالصيغة $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x) - 1 (9))}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.7

أعِد كتابة $- (2 x + 9)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 x + 9))}{{(x - 3)}^{6}}$

خطوة 10.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (2 x + 9)}{{(x - 3)}^{6}}$