حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{e^{x}}{7 x^{2} + 7}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 7 x^{2} + 7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 7]}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x + 0)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $14 x$ و $0$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - e^{x} (14 x)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $14$ في $- 1$ .

$\frac{(7 x^{2} + 7) e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 x^{2} e^{x} + 7 e^{x} - 14 x e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $7 e^{x}$ من $7 e^{x} x^{2} - 14 e^{x} x + 7 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أخرِج العامل $7 e^{x}$ من $7 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) - 14 e^{x} x + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2

أخرِج العامل $7 e^{x}$ من $- 14 e^{x} x$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.3

أخرِج العامل $7 e^{x}$ من $7 e^{x}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4

أخرِج العامل $7 e^{x}$ من $7 e^{x} (x^{2}) + 7 e^{x} (- 2 x)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.5

أخرِج العامل $7 e^{x}$ من $7 e^{x} (x^{2} - 2 x) + 7 e^{x} (1)$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1)}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.2.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

خطوة 4.4.2.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$\frac{7 e^{x} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.4.2.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 x^{2} + 7)}^{2}}$

خطوة 4.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $7$ من $7 x^{2} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أخرِج العامل $7$ من $7 x^{2}$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.2

أخرِج العامل $7$ من $7$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2}) + 7 (1))}^{2}}$

خطوة 4.5.1.3

أخرِج العامل $7$ من $7 (x^{2}) + 7 (1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{{(7 (x^{2} + 1))}^{2}}$

خطوة 4.5.2

طبّق قاعدة الضرب على $7 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.5.3

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{7 e^{x} {(x - 1)}^{2}}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.6

احذِف العامل المشترك لـ $7$ و $49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أخرِج العامل $7$ من $7 e^{x} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{49 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.2.1

أخرِج العامل $7$ من $49 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

خطوة 4.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 (e^{x} {(x - 1)}^{2})}{7 (7 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

خطوة 4.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{x} {(x - 1)}^{2}}{7 {(x^{2} + 1)}^{2}}$