حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2 - 1}}$

خطوة 1

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x^{1}}]$

خطوة 2

بسّط.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 1}{x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 1$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 4.4

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 10

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 1)}{x^{2}}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 11.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1}{x^{2}}$

خطوة 11.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

خطوة 11.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 1^{2}}{x^{2}}$

خطوة 11.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x^{2}}$