حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} + 14 x}{{(7 + x)}^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 14 x$ و $g (x) = {(7 + x)}^{2}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{({(7 + x)}^{2})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(7 + x)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 14 x] - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 14 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [14 x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 2.4

بما أن $14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $14 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14 \cdot 1) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 2.6

اضرب $14$ في $1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [{(7 + x)}^{2}]}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = 7 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 u \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 + x$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - (x^{2} + 14 x) (2 (7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{{(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل $7 + x$ من ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $7 + x$ من ${(7 + x)}^{2} (2 x + 14)$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) - 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل $7 + x$ من $- 2 (x^{2} + 14 x) ((7 + x) \frac{d}{d x} [7 + x])$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل $7 + x$ من $(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14)) + (7 + x) (- 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{{(7 + x)}^{4}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $7 + x$ من ${(7 + x)}^{4}$ .

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(7 + x) ((7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x]))}{(7 + x) {(7 + x)}^{3}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7 + x])}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 7

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x) \cdot 1}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 10

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 (x^{2} + 14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(7 + x) (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

وسّع $(7 + x) (2 x + 14)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (2 x + 14) + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x + 14) - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (2 x) + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1.1

اضرب $2$ في $7$ .

$\frac{14 x + 7 \cdot 14 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.1.2

اضرب $7$ في $14$ .

$\frac{14 x + 98 + x (2 x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.1.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{14 x + 98 + 2 x \cdot x + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 (x \cdot x) + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + x \cdot 14 - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.1.5

انقُل $14$ إلى يسار $x$ .

$\frac{14 x + 98 + 2 x^{2} + 14 x - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.2.2

أضف $14 x$ و $14 x$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 2 (14 x)}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.1.3

اضرب $14$ في $- 2$ .

$\frac{28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $28 x + 98 + 2 x^{2} - 2 x^{2} - 28 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.2.1

اطرح $2 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{28 x + 98 + 0 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.2.2

أضف $28 x + 98$ و $0$ .

$\frac{28 x + 98 - 28 x}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.2.3

اطرح $28 x$ من $28 x$ .

$\frac{0 + 98}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.2.2.4

أضف $0$ و $98$ .

$\frac{98}{{(7 + x)}^{3}}$

خطوة 11.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{98}{{(x + 7)}^{3}}$