حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x^{2} - 2 x - 1}{2 x - 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 2 x - 1$ و $g (x) = 2 x - 5$ .

$\frac{(2 x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 1] - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 5]}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.11

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.12

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x - 1) \cdot 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.13.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 (x^{2} - 2 x - 1)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x - 5) (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

وسّع $(2 x - 5) (2 x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (2 x - 2) - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x - 2) - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.2.1.2.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.4

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.5

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x - 5 \cdot - 2 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.1.6

اضرب $- 5$ في $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 4 x - 10 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.2.2

اطرح $10 x$ من $- 4 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} - 2 (- 2 x) - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 14 x + 10 - 2 x^{2} + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.2

اطرح $2 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 14 x + 10 + 4 x + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 14 x$ و $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 10 + 2}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2.4

أضف $10$ و $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 10 x + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 10 x + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 10 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 5 x) + 12}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.3

أخرِج العامل $2$ من $12$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 (- 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (- 5 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} - 5 x) + 2 \cdot 6$ .

$\frac{2 (x^{2} - 5 x + 6)}{{(2 x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

حلّل $x^{2} - 5 x + 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $6$ ومجموعهما $- 5$ .

$- 3, - 2$

خطوة 3.3.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{2 ((x - 3) (x - 2))}{{(2 x - 5)}^{2}}$

$\frac{2 (x - 3) (x - 2)}{{(2 x - 5)}^{2}}$