حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x {(16 - x)}^{3}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x {(16 - x)}^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 16 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $16 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $16 - x$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $16 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

بما أن $16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $16$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7

اضرب $- 3$ في $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

خطوة 4.9

اضرب ${(16 - x)}^{3}$ في $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

خطوة 5.2

اضرب $- 3$ في $3$ .

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $3 {(16 - x)}^{2}$ من $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3 {(16 - x)}^{2}$ من $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $3 {(16 - x)}^{2}$ من $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $3 {(16 - x)}^{2}$ من $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

خطوة 5.4

اطرح $x$ من $- 3 x$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

خطوة 5.5

أعِد كتابة ${(16 - x)}^{2}$ بالصيغة $(16 - x) (16 - x)$ .

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.6

وسّع $(16 - x) (16 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1.1

اضرب $16$ في $16$ .

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1.5.1

انقُل $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.7.2

اطرح $16 x$ من $- 16 x$ .

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.8

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.9.1

اضرب $3$ في $256$ .

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.9.2

اضرب $- 32$ في $3$ .

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

خطوة 5.10

وسّع $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.1

اضرب $- 4$ في $768$ .

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.2

اضرب $768$ في $16$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.3

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.4.1

انقُل $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.5

اضرب $- 96$ في $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.6

اضرب $16$ في $- 96$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.7

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.8

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.8.1

انقُل $x$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.8.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.11.8.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.8.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.8.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.9

اضرب $3$ في $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

خطوة 5.11.10

اضرب $16$ في $3$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

خطوة 5.12

اطرح $1536 x$ من $- 3072 x$ .

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

خطوة 5.13

أضف $384 x^{2}$ و $48 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$