حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

خطوة 1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = 3 x^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $3 x^{2} + 27$ في $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $3$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.7

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 8

اطرح $6 x^{2}$ من $3 x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $4$ و $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 3$ في $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $4$ في $27$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $12$ من $- 12 x^{2} + 108$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1.1

أخرِج العامل $12$ من $- 12 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.3.1.2

أخرِج العامل $12$ من $108$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.3.1.3

أخرِج العامل $12$ من $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.3.2

أعِد كتابة $9$ بالصيغة $3^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.3.3

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.3.4

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 3$ و $b = x$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

خطوة 10.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 27$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.4.1.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

خطوة 10.4.1.2

أخرِج العامل $3$ من $27$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

خطوة 10.4.1.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

خطوة 10.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $3 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 10.4.3

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 10.5

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.1

أخرِج العامل $3$ من $12 (3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

خطوة 10.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.5.2.1

أخرِج العامل $3$ من $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

خطوة 10.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

خطوة 10.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$