حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8 e^{6 x}}{5 x + 2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{e^{6 x}}{5 x + 2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = e^{6 x}$ و $g (x) = 5 x + 2$ .

$8 \frac{(5 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{6 x}] - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 x$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 x$ .

$8 \frac{(5 x + 2) (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $6 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} (6 \cdot 1) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $6$ في $1$ .

$8 \frac{(5 x + 2) e^{6 x} \cdot 6 - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

انقُل $6$ إلى يسار $(5 x + 2) e^{6 x}$ .

$8 \frac{6 \cdot ((5 x + 2) e^{6 x}) - e^{6 x} \frac{d}{d x} [5 x + 2]}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5 x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.7

اضرب $5$ في $1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + \frac{d}{d x} [2])}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} (5 + 0)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

أضف $5$ و $0$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - e^{6 x} \cdot 5}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.9.2

اضرب $5$ في $- 1$ .

$8 \frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 4.9.3

اجمع $8$ و $\frac{6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (6 (5 x + 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 ((6 (5 x) + 6 \cdot 2) e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x} + 6 \cdot 2 e^{6 x} - 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 (6 (5 x) e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1.1

اضرب $5$ في $6$ .

$\frac{8 (30 x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.2

اضرب $30$ في $8$ .

$\frac{240 (x e^{6 x}) + 8 (6 \cdot 2 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.3

اضرب $6$ في $2$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 8 (12 e^{6 x}) + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.4

اضرب $12$ في $8$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} + 8 (- 5 e^{6 x})}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.1.5

اضرب $- 5$ في $8$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 96 e^{6 x} - 40 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.4.2

اطرح $40 e^{6 x}$ من $96 e^{6 x}$ .

$\frac{240 x e^{6 x} + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.6

أخرِج العامل $8 e^{6 x}$ من $240 e^{6 x} x + 56 e^{6 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $8 e^{6 x}$ من $240 e^{6 x} x$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 56 e^{6 x}}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $8 e^{6 x}$ من $56 e^{6 x}$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$

خطوة 5.6.3

أخرِج العامل $8 e^{6 x}$ من $8 e^{6 x} (30 x) + 8 e^{6 x} (7)$ .

$\frac{8 e^{6 x} (30 x + 7)}{{(5 x + 2)}^{2}}$