حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{7 + \sin (x)}{7 x + \cos (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 7 + \sin (x)$ و $g (x) = 7 x + \cos (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [7 + \sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [7 x + \cos (x)]}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4.4

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{(7 x + \cos (x)) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) - (7 + \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.1.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7 x \cos (x) + {\cos (x)}^{1 + 1} + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.1.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 1 \cdot 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.2

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + (- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.3

وسّع $(- 7 - \sin (x)) (7 - \sin (x))$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 (7 - \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) (7 - \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 7 \cdot 7 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.4.1.1

اضرب $- 7$ في $7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 - 7 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.2

اضرب $- 1$ في $- 7$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - \sin (x) \cdot 7 - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.3

اضرب $7$ في $- 1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.4

اضرب $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1.4.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.4.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.4.3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.4.4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.1.4.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 7 \sin (x) - 7 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.2

اطرح $7 \sin (x)$ من $7 \sin (x)$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + 0 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.1.4.3

أضف $- 49$ و $0$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) - 49 + \sin^{2} (x)}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.2

انقُل $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{7 x \cos (x) + \cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{7 x \cos (x) + \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.4

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{7 x \cos (x) + 1 - 49}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.3.5

اطرح $49$ من $1$ .

$\frac{7 x \cos (x) - 48}{{(7 x + \cos (x))}^{2}}$