حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \sqrt{x y}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x y}$ في صورة ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 9

انقُل ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y])$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 11

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(x y)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 13

بما أن $y$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $x y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} (y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $y$ و $\frac{2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot 2}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{2 \cdot y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 16

اضرب $\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{2 y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

طبّق قاعدة الضرب على $x y$ .

$\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.1

انقُل $y^{\frac{1}{2}}$ إلى بسط الكسر باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2.2

اضرب $y$ في $y^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.1

انقُل $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y)}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2.2.2

اضرب $y^{- \frac{1}{2}}$ في $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.2.2.2.1

ارفع $y$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1})}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + 1}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2.2.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2.2.5

أضف $- 1$ و $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$