حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x \ln (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

خطوة 2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x \ln (x^{3})$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $\frac{1}{x^{3}}$ و $x$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.4.2

اجمع $\frac{3}{x^{2}}$ و $x^{2}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.4.3.2

اقسِم $3$ على $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

خطوة 5.6

اضرب $\ln (x^{3})$ في $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

خطوة 6.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $4$ في $3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

خطوة 6.3.2

انقُل $12$ إلى يسار $e^{4 x \ln (x^{3})}$ .

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

خطوة 6.4

أعِد ترتيب الحدود.

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$