حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{d}{d x} \cdot (\sin^{2} (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin^{2} (x)$ و $g (x) = \log_{7} (\sin^{3} (x))$ .

$\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\log_{7} (\sin^{3} (x))] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \log_{7} (x)$ و $g (x) = \sin^{3} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin^{3} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\log_{7} (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\log_{7} (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1} \ln (7)}$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{u_{1} \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin^{3} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{\sin^{3} (x) \ln (7)}$ و $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3.2

احذِف العامل المشترك لـ $\sin^{2} (x)$ و $\sin^{3} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $\sin^{2} (x)$ من $\sin^{3} (x) \ln (7)$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\sin^{2} (x) (\sin (x) \ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \ln (7)} (3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{\sin (x) \ln (7)}$ .

$\frac{3}{\sin (x) \ln (7)} (\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5.2

اجمع $\sin^{2} (x)$ و $\frac{3}{\sin (x) \ln (7)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x) \cdot 3}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5.3

انقُل $3$ إلى يسار $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{3 \cdot \sin^{2} (x)}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5.4

احذِف العامل المشترك لـ $\sin^{2} (x)$ و $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

أخرِج العامل $\sin (x)$ من $\sin (x) \ln (7)$ .

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) (\ln (7))} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sin (x) (3 \sin (x))}{\sin (x) \ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 5.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 6

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)} \cos (x) + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 7

اجمع $\frac{3 \sin (x)}{\ln (7)}$ و $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + \log_{7} (\sin^{3} (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 9

انقُل $2$ إلى يسار $\log_{7} (\sin^{3} (x))$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \cdot \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

خطوة 10

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)} + 2 \log_{7} (\sin^{3} (x)) \sin (x) \cos (x)$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أعِد ترتيب الحدود.

$2 \cos (x) \sin (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

خطوة 11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

خطوة 11.2.2

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$

خطوة 11.2.3

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\sin (2 x) \log_{7} (\sin^{3} (x)) + \frac{3 \sin (x) \cos (x)}{\ln (7)}$