حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$

خطوة 1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{\csc (4 x)}{2 e^{3 x}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{\csc (4 x)}{e^{3 x}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \csc (4 x)$ و $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

خطوة 3

اضرب الأُسس في ${(e^{3 x})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

خطوة 3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [\csc (4 x)] - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \csc (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 4.2

مشتق $\csc (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- \csc (4 x) \cot (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 5.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \frac{d}{d x} [x]) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x) \cdot 1) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 5.4

اضرب $- 4$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

خطوة 6.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - \csc (4 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

خطوة 7.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

خطوة 7.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

خطوة 7.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

اضرب $e^{3 x}$ في $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

خطوة 7.4.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$ .

$\frac{e^{3 x} (- 4 \csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $- 4 e^{3 x} (\csc (4 x) \cot (4 x)) - 3 \csc (4 x) e^{3 x}$ .

$\frac{- 4 e^{3 x} \csc (4 x) \cot (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

أخرِج العامل $e^{3 x} \csc (4 x)$ من $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

أخرِج العامل $e^{3 x} \csc (4 x)$ من $- 4 e^{3 x} \cot (4 x) \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) - 3 e^{3 x} \csc (4 x)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3.1.2

أخرِج العامل $e^{3 x} \csc (4 x)$ من $- 3 e^{3 x} \csc (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3.1.3

أخرِج العامل $e^{3 x} \csc (4 x)$ من $e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x)) + e^{3 x} \csc (4 x) (- 3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- 4 \cot (4 x) - 3)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \cot (4 x) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 4 \cot (4 x)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 3)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3.2.2

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x)) - 1 (3))}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3.2.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (4 \cot (4 x)) - 1 (3)$ .

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) (- (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

$\frac{e^{3 x} \csc (4 x) \cdot - 1 (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.3.3

أخرِج السالب.

$\frac{- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.4

احذِف العامل المشترك لـ $e^{3 x}$ و $e^{6 x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

أخرِج العامل $e^{6 x}$ من $- e^{3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{2 e^{6 x}}$

خطوة 8.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

أخرِج العامل $e^{6 x}$ من $2 e^{6 x}$ .

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

خطوة 8.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{e^{6 x} (- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3))}{e^{6 x} \cdot 2}$

خطوة 8.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$

خطوة 8.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{e^{- 3 x} \csc (4 x) (4 \cot (4 x) + 3)}{2}$