حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${\cot (x)}^{\tan (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${\cot (x)}^{\tan (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})$ بنقل $\tan (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\cot (x))}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \tan (x) \ln (\cot (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\tan (x) \ln (\cot (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\tan (x) \ln (\cot (x))$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = \ln (\cot (x))$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cot (x))] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cot (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cot (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cot (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\cot (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 5

أعِد كتابة $\cot (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 6

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 7

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 8

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 9

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} ({\tan (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 11

أضف $1$ و $1$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 12

مشتق $\cot (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \csc^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

خطوة 13

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x))) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

خطوة 14.2

احذِف الأقواس.

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x)$

خطوة 14.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \csc^{2} (x) \tan^{2} (x) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \sec^{2} (x) \ln (\cot (x))$