حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${\cos (x)}^{\sin (x)}$

خطوة 1

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${\cos (x)}^{\sin (x)}$ بالصيغة $e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})}]$

خطوة 1.2

وسّع $\ln ({\cos (x)}^{\sin (x)})$ بنقل $\sin (x)$ خارج اللوغاريتم.

$\frac{d}{d x} [e^{\sin (x) \ln (\cos (x))}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (x) \ln (\cos (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (x) \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (\cos (x))]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = \ln (\cos (x))$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.2

مشتق $\ln (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 5

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 6

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sin (x) \sec (x) (- \sin (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 7

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 8

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 10

أضف $1$ و $1$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

خطوة 11

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x)) + \ln (\cos (x)) \cos (x))$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\sec (x) (- \sin^{2} (x))) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} (\ln (\cos (x)) \cos (x))$

خطوة 12.2

احذِف الأقواس.

$e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sec (x) (- \sin^{2} (x)) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \ln (\cos (x)) \cos (x)$

خطوة 12.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \sin^{2} (x) \sec (x) + e^{\sin (x) \ln (\cos (x))} \cos (x) \ln (\cos (x))$