حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos^{2} (π x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (π x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\cos (π x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\cos (π x)$ .

$2 \cos (π x) \frac{d}{d x} [\cos (π x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $π x$ .

$2 \cos (π x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (π x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $π x$ .

$2 \cos (π x) (- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- 2 \cos (π x) (\sin (π x) \frac{d}{d x} [π x])$

خطوة 3.2

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \cos (π x) \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 2 \cos (π x) \sin (π x) (π \cdot 1)$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اضرب $π$ في $1$ .

$- 2 \cos (π x) \sin (π x) π$

خطوة 3.4.2

أعِد ترتيب عوامل $- 2 \cos (π x) \sin (π x) π$ .

$- 2 π \cos (π x) \sin (π x)$