حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

خطوة 1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $\sin (x) + \cos (x)$ في $1$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$8 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6

اجمع $8$ و $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) + 8 (- x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

اضرب $- 1$ في $8$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 (x \cos (x)) + 8 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.3.2

اضرب $- x (- \sin (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.3.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$\frac{8 \sin (x) + 8 \cos (x) - 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x \cos (x) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

أخرِج العامل $8$ من $- 8 x \cos (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 x \sin (x) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5.2

أخرِج العامل $8$ من $8 x \sin (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 \sin (x) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5.3

أخرِج العامل $8$ من $8 \sin (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 \cos (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5.4

أخرِج العامل $8$ من $8 \cos (x)$ .

$\frac{8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5.5

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x \cos (x)) + 8 (x \sin (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5.6

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x \cos (x) + x \sin (x)) + 8 (\sin (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.5.7

أخرِج العامل $8$ من $8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x)) + 8 (\cos (x))$ .

$\frac{8 (- x \cos (x) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \cos (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x)) + x \sin (x) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $x \sin (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x)) - (- x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \cos (x)) - (- x \sin (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) + \sin (x) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.9

أخرِج العامل $- 1$ من $\sin (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \cos (x) - x \sin (x)) - 1 (- \sin (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) + \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.11

أخرِج العامل $- 1$ من $\cos (x)$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x)) - 1 (- \cos (x))$ .

$\frac{8 (- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.13

أعِد كتابة $- (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ بالصيغة $- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))$ .

$\frac{8 (- 1 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.14

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8 (x \cos (x) - x \sin (x) - \sin (x) - \cos (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$