حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin (2 x)$ و $g (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.4

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos^{2} (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 3.6

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 6

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \cos (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 7

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.2

أضف الأقواس.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) (\cos (x) \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.3

أعِد ترتيب $2 \sin (2 x)$ و $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 \sin (2 x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.4

أضف الأقواس.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.5

أعِد ترتيب $\cos (x)$ و $\sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.6

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.7

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.8

اضرب $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.8.1

ارفع $\sin (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.8.2

ارفع $\sin (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.8.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.3.8.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

خطوة 8.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$