حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin (3 x)$ و $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

خطوة 2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 3.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.3.2

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

خطوة 4.5

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

خطوة 4.5.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2} (3 \cos (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

خطوة 4.5.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- 2 \sin (3 x) x$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

خطوة 4.5.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{4}$ .

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

خطوة 6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$