حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\tan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 4

مشتق $\sec (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 6

ارفع $\tan (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 8

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $1 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.1.2

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.1.3

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.1.4

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.1.5

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.3

اضرب $\sec (x)$ في $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.5

اضرب $\sec (x) \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.5.2

ارفع $\sec (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.2.6

اضرب $\sec (x)$ في $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.3.2

اضرب في $1$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.3.3

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.4

احذِف العامل المشترك لـ $\sec (x) + 1$ و ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.4.2

أخرِج العامل $1 + \sec (x)$ من $\sec (x) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

خطوة 9.4.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.3.1

أخرِج العامل $1 + \sec (x)$ من ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

خطوة 9.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

خطوة 9.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$