حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin^{4} (3 x) - \cos^{4} (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin^{4} (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \sin (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.5

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (\cos (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.6

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (3 x)$ .

$4 \sin^{3} (3 x) (3 \cdot \cos (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 2.7

اضرب $3$ في $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos^{4} (3 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos^{4} (3 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\cos^{4} (3 x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = \cos (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{3}$ لتصبح $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ هو $n {u_{3}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 {u_{3}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{3}$ بـ $\cos (3 x)$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{4}$ لتصبح $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\cos (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

خطوة 3.3.2

مشتق $\cos (u_{4})$ بالنسبة إلى $u_{4}$ يساوي $- \sin (u_{4})$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{4}$ بـ $3 x$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

خطوة 3.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) (3 \cdot 1)))$

خطوة 3.6

اضرب $3$ في $1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- \sin (3 x) \cdot 3))$

خطوة 3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (4 \cos^{3} (3 x) (- 3 \sin (3 x)))$

خطوة 3.8

اضرب $- 3$ في $4$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) - (- 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x))$

خطوة 3.9

اضرب $- 12$ في $- 1$ .

$12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ من $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ من $12 \sin^{3} (3 x) \cos (3 x)$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ من $12 \cos^{3} (3 x) \sin (3 x)$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $12 \sin (3 x) \cos (3 x)$ من $12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x)) + 12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\cos^{2} (3 x))$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) (\sin^{2} (3 x) + \cos^{2} (3 x))$

خطوة 4.2

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$12 \sin (3 x) \cos (3 x) \cdot 1$

خطوة 4.3

اضرب $12$ في $1$ .

$12 \sin (3 x) \cos (3 x)$