حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$ في صورة ${(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = e^{2 x} + 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $e^{2 x} + 2 x$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{2 x} + 2 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 8.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $e^{2 x}$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 9.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \cdot 1)$

خطوة 9.6

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$ .

$(2 e^{2 x} + 2) \frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.2

اضرب $2 e^{2 x} + 2$ في $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 e^{2 x} + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.3

أخرِج العامل $2$ من $2 e^{2 x}$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.4

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2 \cdot 1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (e^{2 x}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 ({(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 10.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 10.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{e^{2 x} + 1}{{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$