حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} \sin (4 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = \sin (4 x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$e^{x} (\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x$ .

$e^{x} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} (\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x} (\cos (4 x) (4 \cdot 1)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $4$ في $1$ .

$e^{x} (\cos (4 x) \cdot 4) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 3.3.2

انقُل $4$ إلى يسار $\cos (4 x)$ .

$e^{x} (4 \cdot \cos (4 x)) + \sin (4 x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} (4 \cos (4 x)) + \sin (4 x) e^{x}$

خطوة 5

أعِد ترتيب الحدود.

$4 e^{x} \cos (4 x) + e^{x} \sin (4 x)$