حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x} - x^{3} \arctan (x)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} - x^{3} \arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3} \arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = \arctan (x)$ .

$e^{x} - (x^{3} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.3

مشتق $\arctan (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

خطوة 3.5

اجمع $x^{3}$ و $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

خطوة 3.6

لكتابة $\arctan (x) (3 x^{2})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

خطوة 3.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) \cdot 1 + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\arctan (x)$ في $1$ .

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.2.2

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

انقُل $x^{2}$ .

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 (x^{2} x^{2}))}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2 + 2})}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.2.2.3

أضف $2$ و $2$ .

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.2.3

لكتابة $e^{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{1 + x^{2}}$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{x^{2} + 1}$