حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{x \sqrt{7 x - 15}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7 x - 15}$ في صورة ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 7 x - 15$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.3

انقُل ${(7 x - 15)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.4

اجمع $\frac{1}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x - 15] + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 11

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 13

اضرب $7$ في $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [- 15]) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 14

بما أن $- 15$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 15$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $7$ و $0$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15.2

اجمع $\frac{x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ و $7$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 15.3

انقُل $7$ إلى يسار $x$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 16

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

خطوة 17

اضرب ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 18

لكتابة ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 19

اجمع ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

اضرب ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

انقُل ${(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.4

أضف $1$ و $1$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x - 15)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط ${(7 x - 15)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x - 15) \cdot 2}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22.2

انقُل $2$ إلى يسار $7 x - 15$ .

$e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

اجمع $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ و $\frac{7 x + 2 (7 x - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x - 15))}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.1

اضرب $7$ في $2$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot - 15)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.1.2

اضرب $2$ في $- 15$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.2

أضف $7 x$ و $14 x$ .

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x - 30)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 30}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.5

انقُل $- 30$ إلى يسار $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 \cdot e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.2.6

أعِد ترتيب العوامل في $21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.4

أخرِج العامل $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ من $21 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} x - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.4.1

انقُل $e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.4.2

أخرِج العامل $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ من $21 x e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) - 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.4.3

أخرِج العامل $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ من $- 30 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 24.4.4

أخرِج العامل $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$ من $3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x) + 3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (- 10)$ .

$\frac{3 e^{x {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}} (7 x - 10)}{2 {(7 x - 15)}^{\frac{1}{2}}}$