حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $8 x^{3} - 3 x$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 9

انقُل ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

خطوة 10

اضرب $\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ في $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 11

اضرب ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

انقُل ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 11.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 11.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 11.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 11.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 12

بسّط $2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 x^{3} - 3 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 14

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 16

اضرب $3$ في $8$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

خطوة 17

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 18

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

خطوة 19

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

خطوة 20

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

خطوة 20.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

خطوة 20.2.2

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

خطوة 20.3

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

خطوة 20.4

أخرِج العامل $2 x$ من $16 x^{3} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.4.1

أخرِج العامل $2 x$ من $16 x^{3}$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

خطوة 20.4.2

أخرِج العامل $2 x$ من $- 6 x$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

خطوة 20.4.3

أخرِج العامل $2 x$ من $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ .

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

خطوة 20.5

اضرب $24 x^{2} - 3$ في $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ .

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

خطوة 20.6

أخرِج العامل $3$ من $24 x^{2} - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.6.1

أخرِج العامل $3$ من $24 x^{2}$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

خطوة 20.6.2

أخرِج العامل $3$ من $- 3$ .

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

خطوة 20.6.3

أخرِج العامل $3$ من $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$