حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (7 x)$ و $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

خطوة 2

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

خطوة 2.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 7 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{1}{7 x}$ و $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.2

احذِف العامل المشترك لـ $x^{5}$ و $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

أخرِج العامل $x$ من $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.3

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اجمع $7$ و $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.4.2.2

اقسِم $x^{4}$ على $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.6

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 4.8

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 4.8.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.2.1

اضرب في $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 4.8.2.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

خطوة 4.8.2.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

خطوة 6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط $- 5 \ln (7 x)$ بنقل $5$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

خطوة 6.2

طبّق قاعدة الضرب على $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

خطوة 6.3

ارفع $7$ إلى القوة $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$