حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{4 x + 9}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 x + 9}$ في صورة ${(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x + 9$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(4 x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 7.3

انقُل ${(4 x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x + 9]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x + 9$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 11

اضرب $4$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [9])$

خطوة 12

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $9$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0)$

خطوة 13

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أضف $4$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4$

خطوة 13.2

اجمع $\frac{1}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{{(4 x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$