حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{4 x + 8}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 8}]$ بالصيغة $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة $4 x + 8$ بالصيغة $2^{2} (x + 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 8}]$

خطوة 1.1.2

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (2)}]$

خطوة 1.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (x) + 4 (2)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 2)}]$

خطوة 1.1.4

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 2)}]$

خطوة 1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x + 2}$ في صورة ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 8.3

انقُل ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

خطوة 8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ و $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 8.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 8.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

خطوة 11

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

خطوة 12

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 12.2

اضرب $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$