حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{3 + \sin (5 x)}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 + \sin (5 x)}$ في صورة ${(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 3 + \sin (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $3 + \sin (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 + \sin (5 x)$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 7.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 7.2.2

انقُل ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

خطوة 7.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + \sin (5 x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

خطوة 7.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

خطوة 7.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $5 x$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 8.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 8.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $5 x$ .

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

اجمع $\cos (5 x)$ و $\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 9.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 9.3

اجمع $5$ و $\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 9.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

خطوة 9.5

اضرب $\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$