حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x}{{(9 x - 4)}^{3}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(9 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{({(9 x - 4)}^{3})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(9 x - 4)}^{3})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{3 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 2.3

اضرب ${(9 x - 4)}^{3}$ في $1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x \frac{d}{d x} [{(9 x - 4)}^{3}]}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 9 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x - 4$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x - 4$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - x (3 {(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل ${(9 x - 4)}^{2}$ من ${(9 x - 4)}^{3} - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل ${(9 x - 4)}^{2}$ من ${(9 x - 4)}^{3}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) - 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل ${(9 x - 4)}^{2}$ من $- 3 x ({(9 x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x - 4])$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل ${(9 x - 4)}^{2}$ من ${(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4) + {(9 x - 4)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{6}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل ${(9 x - 4)}^{2}$ من ${(9 x - 4)}^{6}$ .

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(9 x - 4)}^{2} (9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4]))}{{(9 x - 4)}^{2} {(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x - 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x - 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 7

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 9

اضرب $9$ في $1$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 10

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x (9 + 0)}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 11

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $9$ و $0$ .

$\frac{9 x - 4 - 3 x \cdot 9}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 11.2

اضرب $9$ في $- 3$ .

$\frac{9 x - 4 - 27 x}{{(9 x - 4)}^{4}}$

خطوة 11.3

اطرح $27 x$ من $9 x$ .

$\frac{- 18 x - 4}{{(9 x - 4)}^{4}}$