حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x \sin (x) \sqrt{3 x - 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{3 x - 1}$ في صورة ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x \sin (x)$ و $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 3 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x - 1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.2.2

انقُل ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.2.3

اجمع $\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x) \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.2.4

اجمع $\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $\sin (x)$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.6

اضرب $3$ في $1$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.8.1

أضف $3$ و $0$ .

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.8.2

اجمع $\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $3$ .

$2 (\frac{x \sin (x) \cdot 3}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 8.8.3

انقُل $3$ إلى يسار $x \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 \cdot (x \sin (x))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 10

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

خطوة 11.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)))$

خطوة 12

لكتابة ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 13

اجمع ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ و $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{3 x \sin (x) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.2

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.2

أعِد كتابة العبارة.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{1})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 18

بسّط.

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 19

انقُل $2$ إلى يسار $x \cos (x) + \sin (x)$ .

$2 \frac{3 x \sin (x) + 2 \cdot (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 20

اجمع $2$ و $\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 21

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 22

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x \sin (x) + (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.1

وسّع $(2 x \cos (x) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x - 1) + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.2.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.1.2.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cdot x) \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x^{2} \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.1.2.5

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.2

أضف $3 x \sin (x)$ و $6 \sin (x) x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 23.2.2.1

انقُل $\sin (x)$ .

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 23.2.2.2

أضف $3 x \sin (x)$ و $6 x \sin (x)$ .

$\frac{9 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$