حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 \sqrt{x} \ln (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

خطوة 1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $x^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4.2

انقُل $x^{\frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$3 (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب $x$ في $x^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$3 (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$3 (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 5.4

اطرح $1$ من $2$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 7

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 8

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 10

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 10.2

اطرح $2$ من $1$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 11

انقُل السالب أمام الكسر.

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 12

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 13

اجمع $\ln (x)$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 14

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.2.1

اجمع $3$ و $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.2.2

اجمع $3$ و $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$