حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 \sqrt{9 x^{2} + 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{9 x^{2} + 3}$ في صورة ${(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 9 x^{2} + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $9 x^{2} + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $9 x^{2} + 3$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (\frac{1}{2} {(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{{(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 9

انقُل ${(9 x^{2} + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3])$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ و $4$ .

$\frac{4}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

خطوة 11

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 x^{2} + 3]$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $9 x^{2} + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 14

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 15

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (9 (2 x) + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 16

اضرب $2$ في $9$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + \frac{d}{d x} [3])$

خطوة 17

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x + 0)$

خطوة 18

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

أضف $18 x$ و $0$ .

$\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} (18 x)$

خطوة 18.2

اجمع $18$ و $\frac{2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{18 \cdot 2}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 18.3

اضرب $18$ في $2$ .

$\frac{36}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 18.4

اجمع $\frac{36}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{36 x}{{(9 x^{2} + 3)}^{\frac{1}{2}}}$