حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 3}{x^{3} - 27}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x - 3$ و $g (x) = x^{3} - 27$ .

$\frac{(x^{3} - 27) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x^{3} - 27) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} - 27) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x^{3} - 27) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(x^{3} - 27) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $x^{3} - 27$ في $1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) \frac{d}{d x} [x^{3} - 27]}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27])}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27])}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$\frac{x^{3} - 27 - (x - 3) (3 x^{2})}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x - 3) x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} - 27 + (- 3 x - 3 \cdot - 3) x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x \cdot x^{2} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x^{2} x) - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 (x^{2} x^{1}) - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{2 + 1} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{3} - 3 \cdot - 3 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 27 - 3 x^{3} + 9 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اطرح $3 x^{3}$ من $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 27 + 9 x^{2}}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 x^{3} + 9 x^{2} - 27}{{(x^{3} - 27)}^{2}}$