حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int x \sin (8 x) d x$

خطوة 1

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sin (8 x)$ .

$x (- \frac{1}{8} \cos (8 x)) - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $\cos (8 x)$ و $\frac{1}{8}$ .

$x (- \frac{\cos (8 x)}{8}) - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

خطوة 2.2

اجمع $x$ و $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} - \int - \frac{1}{8} \cos (8 x) d x$

خطوة 3

بما أن $- \frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- \frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} - (- \frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + 1 (\frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x)$

خطوة 4.2

اضرب $\frac{1}{8}$ في $1$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \cos (8 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u = 8 x$ . إذن $d u = 8 d x$ ، لذا $\frac{1}{8} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u = 8 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

خطوة 5.1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $8 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $8$ في $1$ .

$8$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \cos (u) \frac{1}{8} d u$

خطوة 6

اجمع $\cos (u)$ و $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} \int \frac{\cos (u)}{8} d u$

خطوة 7

بما أن $\frac{1}{8}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{8}$ خارج التكامل.

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8} (\frac{1}{8} \int \cos (u) d u)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\frac{1}{8}$ في $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{8 \cdot 8} \int \cos (u) d u$

خطوة 8.2

اضرب $8$ في $8$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} \int \cos (u) d u$

خطوة 9

تكامل $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $\sin (u)$ .

$- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} (\sin (u) + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أعِد كتابة $- \frac{x \cos (8 x)}{8} + \frac{1}{64} (\sin (u) + C)$ بالصيغة $- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$ .

$- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

خطوة 10.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{x}{8} \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

خطوة 10.2.2

اجمع $\cos (8 x)$ و $\frac{x}{8}$ .

$- \frac{\cos (8 x) x}{8} + \frac{1}{64} \sin (u) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 x$ .

$- \frac{\cos (8 x) x}{8} + \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\cos (8 x) x}{8}$ .

$- \frac{1}{8} x \cos (8 x) + \frac{1}{64} \sin (8 x) + C$