حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{5} \sin (x) \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{5} \sin (x)$ و $g (x) = \cos (x)$ .

$x^{5} \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

خطوة 2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$x^{5} \sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

خطوة 3

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$x^{5} (- (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

خطوة 4

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$x^{5} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

خطوة 5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{5} (- {\sin (x)}^{1 + 1}) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

خطوة 6

أضف $1$ و $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{5} \sin (x)]$

خطوة 7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{5}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 8

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{5}])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \cos (x) + \sin (x) (5 x^{4}))$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + \cos (x) (x^{5} \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

خطوة 10.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

خطوة 10.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

خطوة 10.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) (\sin (x) (5 x^{4}))$

خطوة 10.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$x^{5} (- \sin^{2} (x)) + x^{5} \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) (5 x^{4})$

خطوة 10.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- x^{5} \sin^{2} (x) + x^{5} \cos^{2} (x) + 5 x^{4} \cos (x) \sin (x)$