حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} {(6 - x)}^{3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = {(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - x)}^{3}] + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = 6 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $6 - x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $6 - x$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [6 - x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $6 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.2

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (3 {(6 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $3$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2} \cdot 1) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.7

اضرب $- 3$ في $1$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + {(6 - x)}^{3} (2 x)$

خطوة 3.9

انقُل $2$ إلى يسار ${(6 - x)}^{3}$ .

$x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 \cdot {(6 - x)}^{3} x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $x {(6 - x)}^{2}$ من $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2}) + 2 {(6 - x)}^{3} x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $x {(6 - x)}^{2}$ من $x^{2} (- 3 {(6 - x)}^{2})$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + 2 {(6 - x)}^{3} x$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $x {(6 - x)}^{2}$ من $2 {(6 - x)}^{3} x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $x {(6 - x)}^{2}$ من $x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + x {(6 - x)}^{2} (2 (6 - x))$ .

$x {(6 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 2 (6 - x))$

خطوة 4.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$x {(6 - x)}^{2} (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.3

أعِد كتابة ${(6 - x)}^{2}$ بالصيغة $(6 - x) (6 - x)$ .

$x ((6 - x) (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.4

وسّع $(6 - x) (6 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$x (6 (6 - x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x (6 - x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x (6 \cdot 6 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

اضرب $6$ في $6$ .

$x (36 + 6 (- x) - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.2

اضرب $- 1$ في $6$ .

$x (36 - 6 x - x \cdot 6 - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.3

اضرب $6$ في $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - x (- x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.5.1

انقُل $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x (36 - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + 1 x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$x (36 - 6 x - 6 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.5.2

اطرح $6 x$ من $- 6 x$ .

$x (36 - 12 x + x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot 36 + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

انقُل $36$ إلى يسار $x$ .

$(36 \cdot x + x (- 12 x) + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.7.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x \cdot x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.7.3

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.3.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1} x^{2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.7.3.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{1 + 2}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.7.3.2

أضف $1$ و $2$ .

$(36 \cdot x - 12 x \cdot x + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.8

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

انقُل $x$ .

$(36 x - 12 (x \cdot x) + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 (6 - x))$

خطوة 4.9

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 2 \cdot 6 + 2 (- x))$

خطوة 4.9.2

اضرب $2$ في $6$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 + 2 (- x))$

خطوة 4.9.3

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 3 x + 12 - 2 x)$

خطوة 4.10

اطرح $2 x$ من $- 3 x$ .

$(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$

خطوة 4.11

وسّع $(36 x - 12 x^{2} + x^{3}) (- 5 x + 12)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$36 x (- 5 x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$36 \cdot - 5 x \cdot x + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.2.1

انقُل $x$ .

$36 \cdot - 5 (x \cdot x) + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$36 \cdot - 5 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.3

اضرب $36$ في $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 36 x \cdot 12 - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.4

اضرب $12$ في $36$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 x^{2} (- 5 x) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.5

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{2} x - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.6

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.6.1

انقُل $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x \cdot x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.6.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.6.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 (x^{1} x^{2}) - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.6.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{1 + 2} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.6.3

أضف $1$ و $2$ .

$- 180 x^{2} + 432 x - 12 \cdot - 5 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.7

اضرب $- 12$ في $- 5$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 12 x^{2} \cdot 12 + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.8

اضرب $12$ في $- 12$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} + x^{3} (- 5 x) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.9

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{3} x + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.10

اضرب $x^{3}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.10.1

انقُل $x$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.10.2

اضرب $x$ في $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.10.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.10.3

أضف $1$ و $3$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + x^{3} \cdot 12$

خطوة 4.12.11

انقُل $12$ إلى يسار $x^{3}$ .

$- 180 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 144 x^{2} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

خطوة 4.13

اطرح $144 x^{2}$ من $- 180 x^{2}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x + 60 x^{3} - 5 x^{4} + 12 x^{3}$

خطوة 4.14

أضف $60 x^{3}$ و $12 x^{3}$ .

$- 324 x^{2} + 432 x - 5 x^{4} + 72 x^{3}$