حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{7} \sqrt{7 x} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 7 x$ . إذن $d u = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$7$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 7 x$ .

$u_{lower} = 7 \cdot 0$

خطوة 1.3

اضرب $7$ في $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 7 x$ .

$u_{upper} = 7 \cdot 7$

خطوة 1.5

اضرب $7$ في $7$ .

$u_{upper} = 49$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 49$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{49} \sqrt{u} \frac{1}{7} d u$

خطوة 2

اجمع $\sqrt{u}$ و $\frac{1}{7}$ .

$\int_{0}^{49} \frac{\sqrt{u}}{7} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{0}^{49} u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{49}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ في $49$ وفي $0$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{2}{3} \cdot 49^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أعِد كتابة $49$ بالصيغة $7^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot {(7^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 7^{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2}{3} \cdot 343 - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.5

اجمع $\frac{2}{3}$ و $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{2 \cdot 343}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.6

اضرب $2$ في $343$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.7

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

خطوة 6.2.8

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

خطوة 6.2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

خطوة 6.2.10

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

خطوة 6.2.11

اضرب $0$ في $- 1$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0 (\frac{2}{3}))$

خطوة 6.2.12

اضرب $0$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{686}{3} + 0)$

خطوة 6.2.13

أضف $\frac{686}{3}$ و $0$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{686}{3}$

خطوة 6.2.14

اضرب $\frac{1}{7}$ في $\frac{686}{3}$ .

$\frac{686}{7 \cdot 3}$

خطوة 6.2.15

اضرب $7$ في $3$ .

$\frac{686}{21}$

خطوة 6.2.16

احذِف العامل المشترك لـ $686$ و $21$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.1

أخرِج العامل $7$ من $686$ .

$\frac{7 (98)}{21}$

خطوة 6.2.16.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.16.2.1

أخرِج العامل $7$ من $21$ .

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

خطوة 6.2.16.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 \cdot 98}{7 \cdot 3}$

خطوة 6.2.16.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{98}{3}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{98}{3}$

الصيغة العشرية:

$32.\overline{6}$

صيغة العدد الذي به كسر:

$32 \frac{2}{3}$

خطوة 8