حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{1}{\arctan (3 t)}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{\arctan (3 t)}$ بالصيغة ${\arctan (3 t)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d t} [{\arctan (3 t)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = \arctan (3 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\arctan (3 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\arctan (3 t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} \frac{d}{d t} [\arctan (3 t)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \arctan (t)$ و $g (t) = 3 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 3.2

مشتق $\arctan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $3$ من $3 t$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + {(3 (t))}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 (t)$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 3^{2} t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4.2.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$- {\arctan (3 t)}^{- 2} (\frac{1}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t])$

خطوة 4.2.2

اجمع $\frac{1}{1 + 9 t^{2}}$ و ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ .

$- \frac{{\arctan (3 t)}^{- 2}}{1 + 9 t^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 4.2.3

انقُل ${\arctan (3 t)}^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [3 t]$

خطوة 4.3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $3 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} (3 \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 4.4

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$- 3 \frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.4.2

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \frac{d}{d t} [t]$

خطوة 4.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}} \cdot 1$

خطوة 4.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{3}{(1 + 9 t^{2}) {\arctan (3 t)}^{2}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \frac{3}{1 {\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

خطوة 5.2

اضرب ${\arctan (3 t)}^{2}$ في $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل ${\arctan (3 t)}^{2}$ من ${\arctan (3 t)}^{2} + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب في $1$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + 9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل ${\arctan (3 t)}^{2}$ من $9 t^{2} {\arctan (3 t)}^{2}$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل ${\arctan (3 t)}^{2}$ من ${\arctan (3 t)}^{2} \cdot 1 + {\arctan (3 t)}^{2} (9 t^{2})$ .

$- \frac{3}{{\arctan (3 t)}^{2} (1 + 9 t^{2})}$