حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = e^{8 t \sin (2 t)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = e^{t}$ و $g (t) = 8 t \sin (2 t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $8 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [8 t \sin (2 t)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ هو $a^{u_{1}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [8 t \sin (2 t)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $8 t \sin (2 t)$ .

$e^{8 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [8 t \sin (2 t)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t \sin (2 t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{8 t \sin (2 t)} (8 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

خطوة 2.2

انقُل $8$ إلى يسار $e^{8 t \sin (2 t)}$ .

$8 \cdot e^{8 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = \sin (2 t)$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = 2 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 t$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 4.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 t$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 5.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 5.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 t)$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 5.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

خطوة 5.5

اضرب $\sin (2 t)$ في $1$ .

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$8 e^{8 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 8 e^{8 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

خطوة 6.2

اضرب $2$ في $8$ .

$16 e^{8 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 8 e^{8 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$